Jogo justo e loteria

Definindo "jogo justo" e verificando o caso da Mega Sena.

Há uns 8 anos foi a primeira vez que fiz esse questionamento: será que a Mega Sena é um jogo justo? A intuição já indicava que não seria, mas que era um exercício interessante fazer algumas contas básicas para pensar sobre.

Mas o que é um “jogo justo”?

Jogo Justo

A definição é: qualquer jogo cujo ganho esperado seja 0. E é esperado em um sentido de esperança matemática, ou seja: se multiplicarmos os valores envolvidos nos eventos possíveis em um jogo pela sua probabilidade de ocorrência, o resultado seria zero. Em uma notação nada rigorosa, poderíamos colocar de maneira geral:

\begin{equation} \mathbb{E}[Jogo] = Preço + P(Ganhar) * Prêmio \end{equation}

Repare que a probabilidade de gastar o preço para jogar é geralmente 1 nos jogos.

E por que um jogo seria assim?

A esperança de algo é o que acontece em média naquela situação. Portanto, se $\mathbb{E}[Jogo] > 0$, valeria a pena para qualquer pessoa continuar jogando infinidademente, pois no geral ela teria lucro com aquilo. O contrário é a situação favorável para a banca, ou seja: espera-se que os jogadores percam dinheiro em média. A situação justa é a que ambos tem um ganho zero, ou seja, em média todo mundo fica igual.

A Mega Sena

O preço da Mega Sena é de R$3,50 para um jogo simples. O prêmio varia, vamos deixar em aberto para poder analisar os valores necessários para deixar o jogo justo. Além disso, precisamos saber a chance de ganharmos: 60 números, 6 sorteados, sem repetição e não importanto a ordenação, portanto:

\[\text{Quantidade de Jogos} = \frac{60!}{(60 - 6)!6!} = 50063860\] \[P(\text{Ganhar na Mega Sena}) = \frac{1}{\text{Quantidade de Jogos}} = 1 / 50063860\] \[P(\text{Ganhar na Mega Sena}) = 1.997448858318156*10^{-8}\]

Ou seja, uma chance em 50 milhões. Para simplificar, considera-se que o jogo é apenas entre um jogador e a lotérica, sem divisão do prêmio.

\[\mathbb{E}[\text{Mega Sena}] = Preço + P(Ganhar) * Prêmio\] \[\mathbb{E}[\text{Mega Sena}] = -3.50 + 1.997448858318156*10^{-08} * \text{Prêmio}\]

Analisando os valores do prêmio para gerar as 3 condições:

O valor é muito maior do que geralmente são os prêmios. Na (wikipedia)[https://pt.wikipedia.org/wiki/Mega-Sena] constam os 15 maiores prêmios e apenas 9 foram maiores que este valor (embora o preço do jogo fosse diferente também, não estamos considerando a inflação). Mas e os sorteios da virada? A questão é que os sorteios maiores atraem mais jogadores e é esperado que haja um ganhador para cada 50 milhões de apostas. Assim, quanto maior o prêmio, é esperado que mais pessoas ganhem e dividam o mesmo. No mesmo artigo da wikipedia podemos ver que 4 entre os 15 maiores sorteios teve apenas um vencedor.

Em resumo, a Mega Sena está longe de ser um jogo justo. O prêmio começa em 2.5 milhões e raramente ultrapassa os 100 milhões nos sorteios regulares.

Mas e se eu quiser jogar um jogo justo? Simples!

Pegue uma moeda, defina um preço de R$1,00 para jogar e o prêmio de R$2,00 se o jogador acertar o lado que vai cair. Deste modo:

Jogador: \(\mathbb{E}[\text{Cara e Coroa}] = - 1 + 0.5 * 2 = 0\)

\[\text{Banca:} \mathbb{E}[\text{Cara e Coroa}] = 1 - 0.5 * 2 = 0\]